老王的夢田

拋物線切線性質二（弓形面積）

這個結果是阿基米得就已經得到了，當時他是用槓桿原理證明出來的。基本上就是要導出面積關係，只是當時阿基米得是用反證法，現在我們用無窮級數的方法就可以了。

當然，現在要算面積，用積分就好，而且只是簡單的二次多項式積分；不過如果了解這個結果，就不必先將拋物線方程式化為函數形式了。

【性質】

給定一拋物線Γ，AB為Γ上一弦，由AB和Γ所圍成的面積，等於在此弓形內以AB為底所能作的最大三角形面積的三分之四倍。

【證明】

這個「在此弓形內以AB為底所能作的最大三角形」第三個頂點，就是與AB平行的切線在Γ上的切點。

由上一篇知道，過A和B的切線交於C，取AB中點D，連接CD和Γ的交點E就是這個切點，並且有E是CD中點。

接著在AE弧內做一個面積最大的三角形AEE₁，並令D₁是AE中點，那麼會有
2D₁E₁＝CE/2＝DE/2

而D₁E₁//CD，所以d(A，D₁E₁)＝d(E，D₁E₁)＝d(A，DE)/2

於是三角形A D₁E₁面積和三角形ADE面積比較，底邊是1/4，高是1/2，那麼面積就是1/8；而且三角形E D₁E₁也是一樣，故
(AEE₁)＝(A D₁E₁)＋(E D₁E₁)＝(ADE)/4＝(ABE)/8

同理在BE弧內做一個面積最大的三角形BEE₂，有(BEE₂)＝(ABE)/8

所以(AEE₁)＋(BEE₂)＝(ABE)/4  (圖中兩個淺紫色的面積和)

繼續作同樣的事，就會有

(AE₁E₃)＋(EE₁E₄)＋(EE₂E₅)＋(BE₂E₆)＝(AEE₁)/4＋(BEE₂)/4＝(ABE)/16

(圖中四個淺藍色面積和)

相信接下來就可以知道，繼續這樣做下去，第n次作2ⁿ個小三角形，而這2ⁿ個小三角形的面積和等於(ABE)/4ⁿ；而且所有的小三角形面積和會逼近拋物線和AB弧之間區域的面積，這就變成無窮等比級數，公比1/4，它會收斂，收斂值是
(ABE)/(1－1/4)＝(4/3)×(ABE)

故此命題得證。

引伸：這個拋物線弓形面積是三角形ABC面積的三分之二。

注意：以後應該用積分做一次。