橢圓共軛直徑的應用


 


假設d為橢圓x2/a2y2/b21的一條直徑,那麼與d平行的弦中點也會構成一條直徑d,稱為d的「共軛直徑」;互為共軛的兩直徑,除了長軸和短軸之外,其斜率乘積為(b2/a2)


 


【例題1


已知橢圓x2/9y2/41,一點P(2,1)在橢圓內部,求橢圓上以P為中點的弦所在直線方程式。


 


【解】


假設O為橢圓中心,弦AB在橢圓上,且中點為P;那麼與AB平行的弦中點就在直線OP,於是與AB平行的直徑與OP互為共軛。


OP的斜率1/2


AB所在直線為


y1(4/(9×1/2))(x2)


y1(8/9)(x2)


8x9y25


 


由直徑兩端點所做的切線,與其共軛直徑平行。

 

【例題2


設橢圓x2/9y2/41,直線Lx2y100P是橢圓上一點,求PL有最小距離時的P點坐標。


 


【解】


平移L,距離最小發生在相切時,於是此時OPL的斜率為一組共軛直徑。


L的斜率:1/2


OP直線為y(8/9)x


代入橢圓方程式


x2/916x2/811


x281/25


簡單畫圖可以判斷最近的點為x=-9/5


y8/5


P點坐標(9/5,8/5)

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