雙曲線的性質一


 


【性質1】


雙曲線上一點到兩漸近線距離乘積為一定值。


 


這個課本證明過了，而且知道，若雙曲線x2/a2－y2/b2＝1上一點，到兩漸近線的乘積為a2b2/(a2＋b2)。


 


【性質2】


過雙曲線上一點作兩漸近線的平行線，與兩漸近線所圍的平行四邊形面積為定值。


 


【證明】


假設雙曲線x2/a2－y2/b2＝1，兩漸近線為L1和L2；令中心為O，P為雙曲線上一點；過P作L1和L2的平行線分別與L1和L2交於H和K；過P作L1和L2的垂直線，垂足分別是M和N。如圖：


 



 


由性質1知道PM×PN＝a2b2/(a2＋b2)


令L1和L2的夾角為θ，那麼tan(θ/2)＝b/a，


sinθ＝2(b/a)/(1＋b2/a2)＝2ab/(a2＋b2)


(PHOK)＝PK×PM＝PM×PN/sinθ＝[a2b2/(a2＋b2)]/[ 2ab/(a2＋b2)]＝ab/2


故為定值。



 

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