老王的夢田

雙曲線的性質二

【性質3】

一直線截一雙曲線與其漸近線成等線段。

【證明】

給定雙曲線Γ：x²/a²－y²/b²＝1，一直線L與Γ交於A、B兩點；與Γ的漸近線交於C、D兩點，則要證明AC＝BD。

假設直線方程式為y＝mx＋k，代入方程式求解，然後計算出長度一樣就好。

不過這邊用個小技巧，只要證明AB和CD的中點相同就好。

直線代入雙曲線，得到

b²x²－a²(mx＋k)²＝a²b²

(b²－a²m²)x²－2a²mkx－a²k²－a²b²＝0

這個方程式的兩根就是A和B的x座標，假設為a_x和b_x

由根與係數關係得a_x＋b_x＝2a²mk/(b²－a²m²)

而兩漸近線可以合併寫成x²/a²－y²/b²＝0

代入得(b²－a²m²)x²－2a²mkx－a²k²＝0

兩根就是C和D的x座標，假設為c_x和d_x

同樣的c_x＋d_x＝2a²mk/(b²－a²m²)＝a_x＋b_x

故AB和CD的中點相同

AC＝BD

如果將直線平行移動成為切線，那麼就會有以下性質：

【性質4】

過雙曲線上一點P，做切線與兩漸近線交於Q和R，則PQ＝PR。

由證明過程也可以看出，只要兩漸近線相同的雙曲線，就會有同樣的結果。

【性質5】

若雙曲線Γ₁與Γ₂有相同漸近線，一直線與Γ₁交於A、B，與Γ₂交於C、D，
則AC＝BD

結合性質2和性質4，有：

【性質6】

過雙曲線上一點作切線，與兩漸近線所圍三角形面積為定值。

【證明】

給定雙曲線x²/a²－y²/b²＝1，中心為O，過雙曲線上一點P分別作兩漸近線的平行線，與漸近線的交點分別是H和K；再過P作切線，與兩漸近線交於Q和R。要證明三角形OQR的面積是一個定值。

由性質4知PQ＝PR，所以H和K分別是OQ和OR的中點，那麼
(OQR)＝2(OKPH)

再由性質2知(OKPH)＝ab/2

所以(OQR)＝ab

習題：用解析方式證明性質6。