最小周長三角形
【問題】在給定的三個物件上各取一點，使得所形成的三角形周長最小。
如果這三個物件是不好掌握的形狀，那麼當然頗困難，所以就先從簡單的情形看起，(如果是三個點，就別提了)。
如果是兩點和一直線，因為兩點的距離固定，所以問題就變成在直線上找一點，使得到兩點距離和最小，那就是之前提過的問題，注意兩點必須在線的同側。
如果是兩點和一圓，這是有名的阿勒哈森問題(Alhazen’s problem)，(阿勒哈森是誰，你可能問物理老師會知道詳情)。這問題的敘述就是：
給定圓C以及圓外(或是圓內)A、B兩點，在圓C上找一點P，使得AP＋BP最小。
這條件相當於找P使得∠APC＝∠BPC；或是求以A、B為焦點且與圓C相切的橢圓。這個問題已經確定一般情況不能尺規作圖，要用解析方式來解。有興趣的可以參考一個我尊敬的數學老師做的網頁。
附帶說一下，關於這個問題，有個常見的錯誤解法：
作直線CA和CB與圓交於D、E，
連接AE和BD交於F，
作直線CF交圓於P，則P為所求。
這個方法找到的P點若是正確的，那麼會滿足∠APC＝∠BPC；
在PA上另外取一點X，顯然以X、B重作一次所得的點不是P，但是原來的P才會滿足∠XPC＝∠BPC，得到矛盾。
既然這種情況無法尺規作圖，就猜測跟圓有關的情況，如兩圓一點、兩圓一線、三圓，這三種情況無法尺規作圖。
還有一點一線一圓的情形，作點關於直線的對稱點後，這問題就變成這組對稱點和圓的情況，也就是歸回阿勒哈森問題。
但也不是有圓的都不行。
先看兩線一點的情形，作這個點關於兩線的對稱點，然後連起來和兩線的交點就是。不過要注意這必須點在兩直線所夾銳角的內部，若是點在鈍角部分，顯然不會是解。
接著看兩線一圓的情況，同樣要求這個圓在兩直線所夾銳角的內部。我們可以先選圓上一點，那麼就變成兩線一點的情形；當所選之點在圓上變動時，這個最小周長也會跟著變動。如圖：
這個最小周長就等於A’A”，由對稱性知道OA’＝OA”，而且∠A’OA”＝2∠XOY，這個角度是固定的，所以A’A”的長度決定於OA的長度，因此當OA最短時，有最小值。
最後是三線的情形，在此有必要將條件加強為三線圍成銳角三角形，所以就變成在銳角三角形三邊上個取一點所成的三角形(或稱為內接三角形)周長最小。
考慮BC上一點D，此時就成兩線一點的情形，由前面可以知道，最小情況在AD垂直BC(也就是D是BC邊的高的垂足點)。同理，AC以及AB上的點也必須是高的垂足點，故最小情況應該是三高的垂足點所成的三角形。附帶一提，這個最小周長就是2AD×sinA。
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