老王的夢田

北模第三次數學甲選填C

被阿扶呼弄了一下，想講的東西沒講清楚。(也可能是我沒準備好，一時就不察，沒有接上我原先的想法)

問這題的人最少，大概是大家很容易算出答案，而且答案也正確，就沒有問題了。(那我有什麼好說的)

而這兩天我真是太忙太累，直到今天才有空細想。

題目大概是：一個邊長10的正方形，一邊增加x，另一邊就減少x而變成長方形。將此長方形繞邊旋轉而得一個圓柱，求圓柱的最大體積。

看完題目，腦袋立刻發出疑問：要繞哪一邊轉？

不管，反正兩種都算，看看是否一樣。

<1>繞10＋x邊旋轉

體積V(x)＝π(10－x)²(10＋x)

我是用算幾令a＝10－x，b＝10＋x然後就得到答案。

<2>繞10－x邊旋轉

體積V(x)＝π(10＋x)²(10－x)

一樣令a＝10＋x，b＝10－x然後就得到同樣的答案。

這讓我誤以為有兩個不同的極大值點，但極大值相同。

昨天上課時真的是累了，阿扶講的東西竟然要他上來解釋我才清楚他在說什麼，然後我就接受他的講法。現在仔細想想，他的講法沒錯，但不是我要表達的重點！

回到題目，列出體積函數後，如果用微分的話，

V’(x)＝π(3x²－20x－100)＝π(3x＋10)(x－10)

就發現V(x)在0到10是遞減的，換句話說，最大值應該是在x＝0的時候，答案就變成1000π了。

但是如果是繞10－x邊旋轉，就可以得到正確解答。

當然，題目這樣出的話，正解還是32000π/27，因為沒說明繞哪邊，原本就應該兩邊都做看看，才會知道答案。注意詳解上面寫出來x的範圍是在0到10，而不是在－10到10，所以出題單位不會用x可以是負值來逃避。可是我說真的，應該是出題者沒思考清楚，要說出繞哪邊轉才是！