老王的夢田

從尾巴算回去

從之前出過的一個題目說起。

【問題】

求最小的自然數n，使得n²的末四位為9876。
【解】

最末位為4或6。

若為4，(10X＋4)²＝100X²＋80X＋16，也就是8X＋1＝7(mod 10)，X＝2或7；

(100X＋24)²＝10000X²＋4800X＋576，8X＋5＝8(mod 10)，X無解；

(100X＋74)²＝10000X²＋14800X＋5476，8X＋4＝8(mod 10)，X＝3或8

374²＝139876符合。

若為6，(10X＋6)²＝100X²＋120X＋36，2X＋3＝7(mod 10)，X＝2或7；

(100X＋26)²＝10000X²＋5200X＋676，2X＋6＝8(mod 10)，X＝1或6；

(1000X＋126)²＝1000000X²＋252000X＋15876，2X＋5＝9(mod 10)，X＝2或7；

都比374來的大。

(100X＋76)²＝10000X²＋15200X＋5776，2X＋7＝8(mod 10)，X無解。

故最小為374

以上的作法就是從最後一位算回去，一個一個定出可能的數值。這個做法我覺得好處就是慢慢找，不會遺漏，就像解排列組合問題的樹狀圖。

在知識+又看到一題：

【問題】

設n為正整數，若n³的末三位為888，求n的最小值。

【解】

最末位為2。

(10X＋2)²＝120X＋8(mod 10)，2X＝8(mod 10)，X＝4或9；

若為4，(100X＋42)²＝529200X＋74088(mod 100)，2X＝8(mod 10)，X＝4或9；

442³＝86350888，942³＝835896888

若為9，(100X＋92)²＝2539200X＋778688 (mod 100)，2X＋6＝8(mod 10)，X＝1或6；

192³＝7077888，692³＝331373888。

故最小為192。

以下要講的才是重點。

小學時後玩算盤(真的只是玩而已，當時可沒錢讓我去學珠算)，常常會做1加到100的動作。當然我知道結果是5050，不過這一路上要都不出錯也是有點難度的。不過我發現一件事，就是加到36的結果是666，這可以當成是初期的檢查目標。

後來我知道了，我這一路加過去，每一個數都是所謂的「三角數」，就是可以排成三角形的數目，也就是可以寫成1＋2＋3＋…＋n；而666的特性就是這個數字都由6來構成。我就想說有沒有其他的數也同時符合這兩個條件，前幾年就在網路上搜尋，發現真的有人把這問題解決了！而他們所用的方法跟我的想法完全一樣(好啦，我承認我是覺得太麻煩，才去網路上搜尋)，解決者是

D. W. Ballew and R. C. Weger, "Repdigit Triangular Numbers", Journal of Recreational Mathematics, Vol. 8, No. 2, p. 96, 1975.

可是網路上找不到這篇，我就發現到師大數學系的圖書館裡面有這本期刊，就託當時的大四實習生找系上認識的助教幫忙印來，才看到人家的成果。

既然解決了這個問題，當然就會想要推廣，也就是如果把三角數改為四邊形數、五邊形數…等等，後來發現一樣被解決了，有興趣請參考

http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/keith.html