老王的夢田

前述性質:若三角形ABC內一點P滿足k*PA+m*PB+n*PC=O，則(PBC):(PCA):(PAB)=k:m:n；

(其逆命題也是正確的，也就是若三角形ABC內一點P滿足(PBC):(PCA):(PAB)=k:m:n，則k*PA+m*PB+n*PC=O。)

如果P點跑到三角形外面會怎麼樣??

先想想，如果k,m,n都是正數，這樣的P點會在哪裡??

由前面的證明知道，只看(PAB):(PAC)=n:m

那麼若AP直線與BC直線交於X，線段比BX/CX=n/m；

可是在直線BC上滿足線段比BX/CX=n/m的X點有兩個(若是1/1則只有一個)，一個內分點，一個外分點，

如果是內分點，反推PX=b*PB+c*PC時，b,c都是正值；但是若為外分點，則b,c中有一為負值。

由此觀之，若n,m都是正數，那麼應該選取內分點。

同理三邊都取內分點，就可以知道P點在三角形ABC內部。

由於可以移項，所以三負跟三正意思是一樣的；也只要再考慮兩正一負的情況就好。

就先考慮n是負的好了，(且慢，面積怎會有負值??)

照前面的推導，可知BC直線和AC直線上要取外分點，而AB直線上取內分點。

同樣的可以知道k或是m為負值的情況。

可是就算是外分點，作成面積比仍是正值。所以即使P點在三角形ABC外部，(此時k,m,n中有一為負)
(PBC):(PCA):(PAB)=|k|:|m|:|n|

但是反過來看，就必須知道P點的位置才能寫出向量的形式。