當我們給定四個邊長,而這四個邊長可以圍成四邊形,那麼我們知道,這樣的四邊形並不固定;如果再加上要求為圓內接四邊形這個條件,就來探討這樣的四邊形是否存在以及符合條件的有幾個。




假設圓內接四邊形ABCDAB=aBC=bCD=cDA=d,那麼∠ABC+∠ADC=180°




也就是∠ADC與∠ABC的外角相等。於是可以延長ABE,使得△CBE和△CDA相似,




並令BE=e,就有c
: d=b : e
,用第四比例項作圖可以作出e來。




同時有CA
: CE=c : b
,由阿波羅尼斯圓定理知道,C點在到AE的距離比為c
: b
的圓上;以及CB=b,就可以定出C點,剩下D點就很容易了。




作圖如下





  1. 作一直線,在上面取AB=a


  2. BA的反射線上取BE=e,並使得c
    : d=b : e


  3. AE直線上找出滿足FA
    : FE=c : b
    GA
    : GE=c : b
    的內分點F和外分點G


  4. FG為直徑作一圓


  5. B為圓心,b為半徑作圓,兩圓交於C(取其中一點即可)


  6. 分別以AD為圓心,dc為半徑作圓,兩圓交於D(取與BAC異側之點)


  7. 四邊形ABCD即為所求










完成圖



假設此圓圓心為O,考慮扇形OBC和扇形OCD,我們可以把它們剪下來交換位置,依然能夠拼成原來的圓形,但是此時四邊形變成ACBD,也就是四邊長順序改為acbd,同樣滿足條件。所以若是四邊不等長,那麼考慮環狀排列,就有6種;如果又考慮可以翻轉,就會只有3種。











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