老王的夢田

完全四邊形的調和性質

我們把四條不共點的線，以及兩兩相交的六個交點所構成的圖形稱為完全四邊形。例如:

其中，A、B、C、D、E、F稱為頂點；ABE、BCF、ECD、ADF稱為邊，沒有邊直接相連的點，把它們連接的線稱為對角線。

那麼，完全四邊形配合對角線，由西瓦定理和孟氏定理，會有許多的比例性質。特別要提的是以下的定理

[定理]

完全四邊形其中一條對角線，與另外兩條對角線的交點，這兩點與原來對角線上的兩個頂點構成調和點列。

如圖，三條對角線交點分別是M、N、K，則(A、C；M、N)、(B、D；M、K)和(E、F；N、K)都是調和點列。

[證明]

只證明(E、F；N、K)是調和點列，其他類似。

對三角形AEF以AN、ED、FB交於一點C使用西瓦定理

(AB/BE)(EN/NF)(FD/DA)=1

對三角形AEF以BDK為截線使用孟氏定理

(AB/BE)(EK/KF)(FD/DA)=1

所以EN/NF=EK/KF

故(E、F；N、K)是調和點列。

由這個定理也可以馬上知道(ME、MF、AC、BD)、(NB、ND、AC、EF)以及(KA、KC、EF、BD)都是調和線束。

底下這一題從昌爸那邊看來，沒人回答，一晾也就將近半年了。

已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，F是內心，BF、DE交於G，過G引直線交CE於L、交AC於H。試證:GL=LH的充要條件為GH//BC。

[證明]

假設BF交AC於K，那麼由上述定理知道(B、F；G、K)是調和點列；

(CB、CF；CG、CK)是調和線束；

所以若直線GH和BC交於M，那麼(M、L；G、H)是調和點列，

因此GL=LH的充要條件是M為無窮遠點，即GH//BC。

最後這問題，在我的證明過程中，CE、BF不必是角平分線，所以或許有比較簡單的證明方式。