到兩定點距離比值的最大最小 @ 老王的夢田

到兩定點距離比值的最大最小

一題教甄題:

直角坐標系中，A(5,12)、B(12,5)，P(x,0)且x>0，求PA/PB的最大值。

如果只要解這題，當然很容易，用代數方式就好。

(PA/PB)²=[(x-5)²+144]/[(x-12)²+25]=(x²-10x+169)/(x²-24x+169)

令k=(x²-10x+169)/(x²-24x+169)

(k-1)x²-(24k-10)x+169(k-1)=0

由判別式大於或等於0得到

(12k-5)²-169(k-1)²≥ 0

(25k-18)(-k+8)
≥ 0

(25k-18)(k-8)
≤ 0

18/25
≤ k ≤ 8

所以最大值為2√2

當有最大值時，算得x=13，13!!!這是巧合嗎??

再算有最小值的時候，正如期待，x=-13。

這讓人覺得有趣，值得探索一下，看看一般的情況是不是也這樣。

所以把問題改為

已知直線L及在L同側兩點A、B；

求在L上找一點P，使得PA/PB之值最大(最小)。

先想想，如果PA/PB=k，當k固定的時候，滿足條件的軌跡是什麼??

答案是阿波羅尼斯圓。

當k改變時，圓會跟著改變；固定k值所做出的阿波羅尼斯圓，圓內部的點與外部的點與A、B兩點距離比值，一邊比k大，一邊比k小；所以可以知道，當阿波羅尼斯圓跟直線相切的時候，就是極值的位置。

所以我們要作由A、B所決定的阿波羅尼斯圓且與L相切，由阿波羅尼斯圓的性質(以後再補)，可以得到作法為

作AB的中垂線，與L交於C，
以C為圓心，CA為半徑作圓，與L交於D、E兩點，即為所求。

至於哪一點是極大還是極小，要由A、B的位置以及比值的寫法來決定。

討論

如果AB的中垂線與L沒有交點，也就是當AB與L垂直的時候，那麼AB和L的交點P，是單一的極值。

進一步探討，如果A、B在L的異側呢??我們可以對B作L的對稱點B'，那麼L上的點P滿足PB=PB'，就可以用上述方式；而且，AB'的中垂線與AB中垂線和L的交點是同一個，那麼不管A、B是在L的同側或是異側，都可以用上述方法來作。

如果把直線L換成圓呢??一樣還是要找由A、B決定的阿波羅尼斯圓，同時要與這個圓相切，這時不像直線的情形，直接用阿波羅尼斯圓的性質就可以，得要另外想辦法。

給定圓C以及圓外兩點A、B，要在圓C上找一點P，使得PA/PB為最大或是最小。

假設我們已經作出這個阿波羅尼斯圓，圓心為K，與直線AB的交點分別為D和E，與圓C的切點為T，由調和點列的性質，KA*KB=KD²=KT²，所以KT是過ABT圓的切線；又圓K和圓C相切於T，所以KTC共線，CT也是切線。連接CA與過ABT的圓交於F，就有CA*CF=CT²，也就是F是A關於圓C的對稱點，這就是一個定點。於是可得作法