阿基米德引理書(Archimedes' Book of Lemmas)第六個命題:





(參考網站http://agutie.homestead.com/files/ArchBooLem00.htm)





【命題六】





直線上有ACB三點,CAB之間;分別以ABACBC向直線的同側作半圓,接著再作另外一個圓與半圓AB內切,且與半圓ACBC皆外切。令此圓直徑為DE
AC/BC r ,則 DE/AB r/(r2r1)





 





要證明這個命題,需要用到引理書的第一個命題:





【命題一】




若兩圓相切於
A,而BCDE是一組平行的直徑,那麼ACE三點共線。






【證明】





令兩圓圓心分別是OM,那麼AOM共線;





對三角形AOCAMEAOCAMEAOOCAMME





所以這兩個三角形相似,OACMAE,故ACE共線。





 





【第六命題的證明】








TPQ分別是此圓和半圓ABACCB的切點,

由命題一知道,ADTBETAPEBQDCPDCQE皆共線。





假設AT與半圓AC交於FBT與半圓CB交於G





連接CFCG分別與AEBD交於HK





作直線DHEKAB交於MN





對三角形ACD來說,APCDCFAD,故H是垂心,DMAB





同理ENAB,那麼DM//ENDEMN





CH//BE,所以AC/CBAH/HEAM/MN





CK//AD,所以AC/CBDK/KBMN/NB





AMrMNr2NB,故DE/ABr/(r2r1)





 








如果繼續做切圓下去,就會得到複變課本裡面的圖形:






可以參考





http://www.amazon.com/Complex-Analysis-Undergraduate-Texts-Mathamatics/dp/0387947566





 





於是這個圓的半徑,就可以記成公式;也可以整理成這個型式:








進一步繼續看命題六,





因為三角形ADMEBN相似,所以AM/ENDM/BN





ENDM,所以EN2AM×BNMN2,故ENMN





這告訴我們,四邊形DMNE是正方形!!





以及所有與三角形ADM相似的直角三角形其兩股的比值皆為r,特別是BAT

於是AT/TBAC/CB,故TCATB的平分線。





這又告訴我們,四邊形TECG是正方形!!





 





透過計算,可以發現CN/CMr,於是CNHMCMKN

三角形CHMKCN全等,CHCK(這點用圓冪也可以證出)





 





如果AEBD交於L,那麼L是三角形CDE的垂心,作直線TL,會過半圓AB和圓DE的圓心,也就是連心線。





透過計算比例可以知道,FLG三點共線,也就是AEBDFG、以及連心線這四線共點。





 





最後,可以由射影幾何的知識得到,若TL交圓DE於另一點X,那麼直線FPGQ也會通過此點。








總結這篇的東西





1.        
DE/AB
r/(r2r1)





2.        
1/DE
1/AC1/CB1/AB





3.        
DMNE
是正方形





4.        
TFCG
是正方形





5.        
所有與三角形BAT相似的直角三角形兩股的比值為r





6.        
CH
CK





7.        
AE
BDFGTO四線共點





8.        
FP
GQTO和圓DE共點
















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  • 苗苗苗
  • 命題一
    AO=OC
    [版主回覆11/11/2012 18:38:02]感謝!!還是以前的學生用功。