阿基米德的鞋匠刀()





 





阿基米德引理書第五個命題:





一線上三點ACB,分別以ACCBAB為直徑向同側作半圓,D在半圓AB上且與AB垂直,在CD的兩側分別作圓與CD相切,與半圓AB內切,且分別與半圓ACCB外切,則此兩圓相等。





 





【證明】









先看其中一圓





假設此圓與半圓AB、半圓ACCD分別切於TPE,作直徑EF,那麼EF//AB,由命題一知道TFATEBTPCAPE共線,





延長AFTCD延長線交於G,連接BG,因為DC垂直ABBF垂直AD





E為三角形ABG的垂心,於是延長AEBD交於HAH垂直BD,同時也知道H在半圓AB上。





於是CPF//BHG,那麼EF/ACDF/ADBC/AB





EF(AC×CB)/AB





同樣方法可以得到另一圓的直徑也是(AC×CB)/AB,故兩圓相等。





 





假設半圓AC和圓EF的圓心分別是XM,那麼GMPX四點共線,由於XPXC,所以得到XBXG,以及CBPG(這是93年嘉義區複賽的題目)










這樣子我們把BP連起來,那麼三角形BPXGCX就全等,有BPX90°





意即BP是兩圓的公切線!!

BP2
BC×BABD2,所以BPBD








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