老王的夢田

阿基米德牛群問題

第一次見到這個問題的時候，是在數學傳播第二卷第四期的一篇翻譯文章----組合學是什麼，裡面的附錄。至於當時為什麼有數學傳播可以看，是因為那時中研院送的！！聽說是存貨太多，就送給各高中；學校覺得我們可能有興趣，就給我們班一人可以有個四五本。這篇文章沒有電子檔，所以就把書上的文章抄下：

噢，陌生人，如果你真得夠努力夠聰明的話，請你來算算牛群的數目。從前那些牛畜養在西西里的特利那西亞島的草原上。按顏色來分，它們一共有四群：白的、黑的、黃的、花斑的。每一群都有許多公牛，它們的比例如下：聽好了，陌生人，白色公牛數等於黑色公牛的一半再加三分之一，然後再加上黃色公牛總數；黑色公牛數等於花斑公牛的四分之一再加五分之一，然後再加上黃色公牛數，此外花斑公牛等於白色公牛的六分之一再加七分之一，然後再加上黃色公牛總數。下面是母牛分配的比例：白色母牛數等於所有黑牛數的三分之一再加四分之一；黑色母牛數等於蓄養的花斑牛包括公牛在內總數的四分之一再加五分之一；花斑母牛數等於所有黃色牛數的五分之一再加六分之一；最後黃色母牛數等於所有白色牛數的六分之一再加七分之一。噢，陌生人，如果只告訴你公牛的總數，或只告訴你每一種顏色母牛的數目，你算不出全體牛群的總數，那麼還不能說你對數目沒有才能，但你也就不算是真正的智者了。不過再看看太陽下牛群所滿足的其他條件。當白色公牛與黑色公牛混合在一起時，它們緊緊的排成一個橫寬與縱深相等的隊形，整個蓋滿了特利那西亞的平原。同樣如果把黃色公牛與花斑公牛放在一處，從一頭開始，一行行增加，直到排成一個三角形的隊伍。噢，陌生人，如果你能夠在心中把各種關係分清楚，算出所有相關的數目，那麼在這種才智上，你可算是相當了不起了。

唸數學系的時候，教官給我一份資料，就是這個問題的解答；前面幾頁講解法，接著大約十幾頁，給出了最小的解！！如果沒有電腦，這怎麼算啊！！！

大致說一下解法：

假設W,w分別表示白色公牛和母牛的數目，

假設X,x分別表示黑色公牛和母牛的數目，

假設Y,y分別表示黃色公牛和母牛的數目，

假設Z,z分別表示花斑公牛和母牛的數目。

依題意比例的部分可以列出七個關係式：

從這邊可以解出這八個未知數的比例關係，或是直接以一個參數表示出來為：

W＝10366482 n

X＝ 7460514 n

Y＝ 4149387 n

Z＝ 7358060 n

w＝ 7206360 n

x＝ 4893246 n

y＝ 5439213 n

z＝ 3515820 n

再加上第二部分的條件，但是這句「排成一個橫寬與縱深相等的隊形」有點模糊，因為牛本身應該視為長方形，那麼是「排出來的圖形是正方形」呢？還是「排出正方形的隊伍」呢？

如果是第一種，那麼只要W＋X為一個矩形數，也就是可以分解成兩個較小數目相乘的數；

如果是第二種，就必須讓W＋X為一個正方形數，意即是一個平方數；

另外一個就很明確表示Y＋Z為一個三角形數，意即為 k(k＋1)/2 的形式。

照這樣來作，可以解出最少總數為 5916837115686 頭牛。

如果要滿足第一種，總數多達 7766×10²⁰⁶⁵⁴¹ 之多！！

這別說那個小島排不下，就是整個地球也排不下吧~~~

補充：這個問題也收在<<一百個著名初等數學問題>>裡面的第一題。

查了一些網路資料，似乎有不少人認為當時阿基米德沒有解出來。個人以為這個問題本身就很有趣，阿基米德是否解出，其實並不重要。