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還有,1-1和1-4兩題,感謝林金毅先生的幫忙






















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  • 寸絲
  • 原來學長的方法也是歸納法。

    這個應該叫「整值多項式」,我是不知道別人有沒有學過。

    至少自己,高中、大學、研究所數學系的課程,不曾學過這樣一個定理。

    比起其它大定理,這題應該是算相對親切的了吧。

    至於其它大定理,不可否忍正常高中生不可能做出來,

    換作自己年輕 10 歲,也是雙手一攤,做不出來
    [版主回覆03/29/2013 16:41:45]不過這兩年的題目好多了。對了,貴校的成發安排在星期三下午,就無法去了。
  • 寸絲
  • 1-1 另證
    可用數學歸納法(命題要推廣任意次)和 Pascal 定理
    對 f 的次數作歸納。
    deg f = 0, c0= f(5) 成立
    設對 deg f<= k,命題皆成立
    若 deg f = k+1,令 f(x) = Σ ci C(x,i)
    定義 g(x) = Δf = f(x+1) -f(x),則 deg g = k,且 g(x) = Σ ci C(x,i-1)
    該插值多項式表示唯一(係數唯一),由歸納法假設知 c1, c2, c3, .., ck+1 為整數
    又 f(5), C(5,i) 皆整數,故 c0 亦整數
    由數學歸納法得證
    [版主回覆03/26/2013 16:50:26]林金毅給的解法就是針對n作歸納,那麼n=5當然正確。只是我認為這題根本是......應該是個課本(大學數學)裡面會有的定理吧!!就覺得你們台大數學老是要考一些大定理,什麼笛沙格、甚至等周定理,這要高中學生怎麼寫??還是其實台大數學系原本就是要那些能進IMO的學生??
  • 德德
  • 1-2 那個n解出來應該是12吧?